contestada

Use the table of integrals, or a computer or calculator with symbolic integration capabilities, to find the indefinite integral.
∫√x^2+15 dx.

Respuesta :

Space

Answer:

[tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = \frac{15 \ln \big| \sqrt{x^2 + 15} + x \big| + x\sqrt{x^2 + 15}}{2} + C[/tex]

General Formulas and Concepts:

Pre-Calculus

Trigonometric Identities

[Right Triangles Only] Pythagorean Theorem: a² + b² = c²

  1. a is a leg
  2. b is another leg
  3. c is the hypotenuse

Calculus

Differentiation

  • Derivatives
  • Derivative Notation

Derivative Property [Multiplied Constant]:                                                           [tex]\displaystyle \frac{d}{dx} [cf(x)] = c \cdot f'(x)[/tex]

Basic Power Rule:

  1. f(x) = cxⁿ
  2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Integration

  • Integrals
  • [Indefinite Integrals] Integration Constant C

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         [tex]\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx[/tex]

U-Substitution

  • Trigonometric Substitution

Reduction Formula:                                                                                               [tex]\displaystyle \int {\sec^n (u)} \, du = \frac{n - 2}{n - 1} \int {\sec^{n - 2} (u)} \, du + \frac{\sec^{n - 2} (u) \tan (u)}{n - 1}[/tex]

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx[/tex]

Step 2: Integrate Pt. 1

Identify variables for trigonometric substitution.

  1. Set x:                                                                                                               [tex]\displaystyle x = \sqrt{15} \tan \theta[/tex]
  2. [x] Differentiate [Trigonometric Differentiation, Derivative Property]:       [tex]\displaystyle dx = \sqrt{15} \sec^2 (\theta) \ d\theta[/tex]
  3. [x] Rewrite:                                                                                                     [tex]\displaystyle \theta = \arctan \bigg( \frac{x}{\sqrt{15}} \bigg)[/tex]

Step 3: Integrate Pt. 2

  1. [Integral] Trigonometric Substitution:                                                           [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = \int {\sqrt{15} \sec^2 (\theta) \sqrt{(\sqrt{15} \tan \theta)^2 + 15}} \, d\theta[/tex]
  2. [Integrand] Simplify:                                                                                       [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = \int {\sqrt{15} \sec^2 (\theta) \sqrt{15 \tan^2 (\theta) + 15}} \, d\theta[/tex]
  3. [Integrand] Factor:                                                                                         [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = \int {\sqrt{15} \sec^2 (\theta) \sqrt{15 (\tan^2 (\theta) + 1)}} \, d\theta[/tex]
  4. [Integrand] Rewrite [Trigonometric Identities]:                                           [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = \int {\sqrt{15} \sec^2 (\theta) \sqrt{15 \sec^2 (\theta)}} \, d\theta[/tex]
  5. [Integral] Simplify:                                                                                         [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = \int {15 \sec^3 \theta} \, d\theta[/tex]
  6. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = 15 \int {\sec^3 \theta} \, d\theta[/tex]
  7. [Integral] Reduction Formula:                                                                       [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = 15 \bigg( \frac{1}{2} \int {\sec (\theta)} \, d\theta + \frac{\sec (\theta) \tan (\theta)}{2} \bigg)[/tex]
  8. [Integral] Trigonometric Integration:                                                            [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = 15 \bigg( \frac{\ln \big| \tan (\theta) + \sec (\theta) \big|}{2} + \frac{\sec (\theta) \tan (\theta)}{2} \bigg)[/tex]
  9. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = 15 \bigg( \frac{\ln \big| \tan (\theta) + \sec (\theta) \big| + \sec (\theta) \tan (\theta)}{2} \bigg)[/tex]
  10. [θ] Back-Substitute:                                                                                          [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = 15 \bigg( \frac{\ln \bigg| \tan \bigg( \arctan \big( \frac{x}{\sqrt{15}} \big) \bigg) + \sec \bigg( \arctan \big( \frac{x}{\sqrt{15}} \big) \bigg) \bigg| + \sec (\theta) \tan (\theta)}{2} \bigg)[/tex]
  11. Simplify:                                                                                                        [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = 15 \bigg( \frac{\ln \bigg| \sqrt{\frac{x^2}{15} + 1} +\frac{x}{\sqrt{15}} \bigg| + \sec (\theta) \tan (\theta)}{2} \bigg)[/tex]
  12. [θ] Back-Substitute:                                                                                       [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = 15 \bigg( \frac{\ln \bigg| \sqrt{\frac{x^2}{15} + 1} +\frac{x}{\sqrt{15}} \bigg| + \sec \bigg( \arctan \big( \frac{x}{\sqrt{15}} \big) \bigg) \tan \bigg( \arctan \big( \frac{x}{\sqrt{15}} \big) \bigg)}{2} \bigg)[/tex]
  13. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = 15 \bigg( \frac{\ln \bigg| \sqrt{\frac{x^2}{15} + 1} +\frac{x}{\sqrt{15}} \bigg| + x\sqrt{15} \sqrt{\frac{x^2}{15} + 1}}{2} \bigg) + C[/tex]
  14. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int {\sqrt{x^2 + 15}} \, dx = \frac{15 \ln \big| \sqrt{x^2 + 15} + x \big| + x\sqrt{x^2 + 15}}{2} + C[/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Integration

Learn more on how to prove the reduction formula used: https://brainly.com/question/20197752

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