Respuesta :

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Answer:

[tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = \frac{e^{-8x}}{2} \bigg( \frac{23}{8} - x \bigg) + C[/tex]

General Formulas and Concepts:

Calculus

Differentiation

  • Derivatives
  • Derivative Notation

Derivative Property [Multiplied Constant]:                                                           [tex]\displaystyle \frac{d}{dx} [cf(x)] = c \cdot f'(x)[/tex]

Derivative Property [Addition/Subtraction]:                                                         [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] + \frac{d}{dx}[g(x)][/tex]

Basic Power Rule:

  1. f(x) = cxⁿ
  2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Integration

  • Integrals
  • [Indefinite Integrals] Integration Constant C

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         [tex]\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx[/tex]

U-Substitution

Integration by Parts:                                                                                               [tex]\displaystyle \int {u} \, dv = uv - \int {v} \, du[/tex]

  • [IBP] LIPET: Logs, inverses, Polynomials, Exponentials, Trig

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx[/tex]

Step 2: Integrate Pt. 1

  1. [Integrand] Rewrite [Factor]:                                                                         [tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = \int {4(x - 3)e^{-8x}} \, dx[/tex]
  2. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = 4 \int {(x - 3)e^{-8x}} \, dx[/tex]

Step 3: Integrate Pt. 2

Identify variables for integration by parts using LIPET.

  1. Set u:                                                                                                             [tex]\displaystyle u = x - 3[/tex]
  2. [u] Basic Power Rule [Derivative Property - Addition/Subtraction]:           [tex]\displaystyle du = dx[/tex]
  3. Set dv:                                                                                                           [tex]\displaystyle dv = e^{-8x} \ dx[/tex]
  4. [dv] Exponential Integration [U-Substitution]:                                             [tex]\displaystyle v = \frac{-e^{-8x}}{8}[/tex]

Step 4: Integrate Pt. 3

  1. [Integral] Integration by Parts:                                                                       [tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = 4 \bigg( \frac{-(x - 3)e^{-8x}}{8} - \int {\frac{-e^{-8x}}{8}} \, dx \bigg)[/tex]
  2. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = 4 \bigg( \frac{-(x - 3)e^{-8x}}{8} + \frac{1}{8} \int {e^{-8x}} \, dx \bigg)[/tex]
  3. Factor:                                                                                                           [tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = \frac{1}{2} \bigg( -(x - 3)e^{-8x} + \int {e^{-8x}} \, dx \bigg)[/tex]

Step 5: Integrate Pt. 4

Identify variables for u-substitution.

  1. Set u:                                                                                                             [tex]\displaystyle u = -8x[/tex]
  2. [u] Basic Power Rule [Derivative Rule - Multiplied Constant]:                   [tex]\displaystyle du = -8 \ dx[/tex]

Step 6: Integrate Pt. 5

  1. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = \frac{1}{2} \bigg( -(x - 3)e^{-8x} - \frac{1}{8} \int {-8e^{-8x}} \, dx \bigg)[/tex]
  2. [Integral] U-Substitution:                                                                               [tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = \frac{1}{2} \bigg( (x - 3)e^{-8x} - \frac{1}{8} \int {e^u} \, dx \bigg)[/tex]
  3. [Integral] Exponential Integration:                                                               [tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = \frac{1}{2} \bigg( (x - 3)e^{-8x} - \frac{e^u}{8} \bigg) + C[/tex]
  4. [u] Back-Substitute:                                                                                       [tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = \frac{1}{2} \bigg( (x - 3)e^{-8x} - \frac{e^{-8x}}{8} \bigg) + C[/tex]
  5. Factor:                                                                                                           [tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = \frac{e^{-8x}}{2} \bigg( -(x - 3) - \frac{1}{8} \bigg) + C[/tex]
  6. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int {(4x - 12)e^{-8x}} \, dx = \frac{e^{-8x}}{2} \bigg( \frac{23}{8} - x \bigg) + C[/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Integration

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